경우의 수 계산 방법 및 예시

우리는 언제나 계산합니다. 우리가 월드컵 16강에 올라갈 경우의 수를요. 사실 강팀들도 이 수는 계산하게 되는데요. 조금 더 자세히 알아보는 시간을 준비했습니다.

 

경우의 수 계산 방법

한자로 境遇의 數, 영어로 number of cases라고 쓰는 경우의 수는 미래에 일어날 수 있는 사건의 갯수가 N 개라고 했을 때 그것을 구하는 확률론의 가장 기본적이고 중요한 개념입니다. 경우의 수에는 합의 법칙과 곱의 법칙이 있습니다.

• 합의 법칙: 서로 영향을 주거나, 구조가 닮지 않은 경우, OR
• 곱의 법칙: 서로 영향을 주지 않거나 상황의 구조가 닮은 경우, AND

쉬운 이해를 위해 주사위로 예를 들어서 설명해보도록 할께요.

 

합의 법칙은 주사위를 1개를 던져서 짝수가 나올 경우를 구할 때 사용합니다. 6개의 눈 중 짝수는 2, 4, 6으로 3개죠. 2가 나올 경우 1, 4가 나올 경우 1, 6이 나올 경우 1을 모두 더하면, 1+1+1=3으로 짝수가 나올 경우의 수는 3이 됩니다.

 

곱의 법칙은 주사위 1개를 두 번 던져서 처음에는 짝수, 두 번째는 홀수가 나오는 수를 구할 때 사용합니다. 합의 법칙에서 짝수가 나올 경우의 수는 3이었죠. 홀수(1, 3, 5) 역시 3입니다. 처음에는 짝수, 다음에는 홀수가 나오는 경우를 세는 것이기에 둘을 곱해야 합니다. 3X3=9가 됩니다.

 

이런 이론적과 공식보다 야구, 축구 등 스포츠 분야에서 발생하는 경우의 수를 찾는 분들이 더 많을 것이라 생각하는데요. 여기에서는 곱의 법칙을 사용하게 됩니다.

 

특히 월드컵처럼 단기간에 펼쳐지는 대회는 우리뿐만 아니라 모든 나라가 경우의 수를 계산하게 됩니다. 다만 그들은 승리할 확률이 높기 때문에 의식적으로 하는 것일 뿐이죠.

 

예를 들어 설명하면 이해가 쉬울 것 같은데요. 우리나라가 겪은 상황으로 2018년 월드컵 F조의 상황을 보여드릴게요.

 

 

경우의 수 예시

축구에서 경기 결과는 승리, 패배, 무승부로 3가지 상황이 나오게 됩니다. 4팀이 치르는 조별리그 마지막 경기는 승부조작을 막기 위해 2경기가 동시에 열리는데요. 2경기 3가지 상황이기에 곱의 법칙을 이용하면 9가지의 경우의 수가 발생합니다. 승무패에 관련된 상황만 9가지일 뿐 2018년 F조는 아주 복잡한 경우의 수를 갖고 있었습니다.

 

잠깐!! 경우의 수와 확률은 비슷한 것 같은데 왜 경우의 수로 표현하는 것일까요?

경우의 수는 어떤 일이 일어날 수 있는 경우의 가짓수를 말하고, 확률은 모든 경우의 수에서 어떤 일이 일어날 수 있는 경우의 가짓수의 비율을 말합니다. 위에서 설명한 합의 법칙을 떠올려 볼까요? 짝수가 나올 경우의 수는 3개, 6개의 숫자 중 3개가 나올 확률은 50%가 됩니다. 이런 단순한 상황에서는 두 가지 모두 쓸 수 있지만 스포츠는 다릅니다. 특히 축구는 승무패뿐만 아니라 득점, 실점, 승자승까지 모두 고려해야 하기 때문에 확률로 표현할 수 없(할 수 있지만 의미가 전달되기 어려움)습니다. 그렇기에 이렇게 될 경우 저렇게 될 수 있다는 사건의 경우를 만들어내 표현하는 것입니다.

 

그럼 2018 러시아 월드컵 F조 상황을 볼까요?

 

F조 1-2경기

• 1경기: 독일 0-1 멕시코
• 2경기: 스웨덴 1-0 대한민국

독일은 충격의 패배를 당했고 우리는 최소 무승부를 생각했지만 패하며 첫 경기를 내줬습니다. 멕시코와 스웨덴은 승점 3점으로 공동 1위로 시작하게 됩니다.

 

 

F조 3-4경기

• 3경기: 대한민국 1-2 멕시코
• 4경기: 독일 2-1 스웨덴

멕시코는 우리나라를 이기고 2승 기록해 16강에 가는듯했지만 독일이 스웨덴을 이기는 바람에 승점 6점임에도 불구하고 확정 짓지 못했습니다. 독일은 스웨덴에게 승리하며 2위를 기록했고, 2패를 기록한 우리나라는 독일과 스웨덴의 경기가 무승부였다면 탈락 확정이었지만 아주 약간의 희망은 남아있었습니다.

 

멕시코가 2경기에서 확정 짓지 못한 이유

월드컵처럼 싱글라운드 로빈으로 진행되는 조별리그는 자신의 성적도 중요하지만 상대의 점수가 큰 영향을 미치게 됩니다. 한 조에 다음과 같은 상황이 발생할 경우 동률이 발생할 가능성은 다음과 같습니다.
○ 3패 팀 탄생: 2승 1패 팀이 세 팀 나올 수 있다.
○ 3승 팀 탄생: 1승 2패 팀이 세 팀 나올 수 있다.
이렇게 전승 전패팀이 있고 무승부가 안 나올 경우 세 팀은 득실차, 다득점, 승자승 등으로 순위를 가리게 됩니다.

즉, 멕시코가 스웨덴에게 지고, 한국이 독일에게 질 경우 세 팀간 득실점, 다득점 등을 통해 순위를 결정해야 하기에 2승을 챙겼음에도 웃지 못하는 상황에 놓인 것입니다. 

 

 

순위	팀	승점	결과(승-무-패)	득실점	득실차
1	멕시코	6	2-0-0	3-1	+2
2	독일	3	1-0-1	2-2	0
3	스웨덴	3	1-0-1	2-2	0
4	대한민국	0	0-0-1	1-3	-2

두 번째 경기가 끝난 후 순위표입니다. 독일과 스웨덴은 승점, 득점, 실점, 득실차가 모두 같아 공동 2위지만 승자승 법칙에 의해 2위가 됩니다.

 

이때 당시 우리가 16강에 진출할 수 있는 경우의 수는 1이었습니다. 하지만 1이 1 같지 않았죠. 우리가 독일을 이겨야 하고 멕시코도 스웨덴을 이겨야 했습니다. 여기에는 조건도 필요했는데요. [곱의 법칙으로는 1. 하지만 월드컵 16강 진출에 대한 확률이나 조건도 경우의 수라고 부르며 이는 숫자로 계산해내기 어렵다.]

 

①멕시코는 득점 상관없이 승리, 우리는 독일을 2골 차 이상으로 승리 ②멕시코가 스웨덴에게 2점 차 이상, 우리나라가 독일에게 1점 이상 승리 ③멕시코가 스웨덴에게 1점 차, 대한민국이 독일에게 1점차 승리를 거두되 독일이 스웨덴보다 골을 더 많이 넣는 경우

 

월드컵에서 순위를 결정하는 방식은 승점-골득실-다득점-승자승-페어플레이-추첨입니다. ①첫 번째 상황은 우리가 독일에게 승 2골을 넣으면 골득실 0, 스웨덴은 최소 -1, 독일 -2가 되기에 대한민국이 2위로 16강에 진출할 수 있습니다.

 

 ②두 번째 상황은 한국과 독일은 득실차 -1, 스웨덴은 -2가 되기에 동률인 우리나라와 독일을 따지게 되는데 승자승에서는 동률인 팀 간 승점을 먼저 보기에 승리한 우리가 2위가 됩니다.

 

③세 번째 상황은 엄청 복잡한 상황으로 멕시코는 스웨덴을 이겨야 하고, 우리도 독일을 이겨야 하지만 독일은 스웨덴 보다 1골 이상 많은 골을 넣아야 한다는 조건이었습니다. 예를 들면 한국 2:1 독일, 멕시코 1:0 스웨덴이라는 결과가 나왔어야 합니다. 어찌 되었던 독일은 스웨덴보다 골을 더 넣어야 하고 우리와 멕시코는 반드시 이겼어야 했죠.

 

이건 우리의 입장이었고 멕시코, 스웨덴, 독일 입장에서는 모두 달랐죠.

ⓜ멕시코는 스웨덴을 이기거나 비기면 자력 진출, 지더라도 한국이 독일에게 이기거나 비기면 진출할 수 있습니다. ⓢ스웨덴은 2점 이상의 차이로 이기거나 독일보다 1골 더 많이 넣어야 자력으로 진출할 수 있습니다. 멕시코와 비길 경우 독일은 한국에게 져야 합니다. 지면 다른 경기 상관없이 탈락입니다. ⓖ독일은 득점에 상관없이 이겨야 합니다. 무승부가 나오더라도 스웨덴이 무-패만 기록하면 올라갈 수 있고, 지더라도 1 실점 이하로 선방하고 스페인이 지면 올라갈 수 있습니다.

엄청 복잡하죠.

 

 

F조 5-6경기

• 5경기: 대한민국 2-0 독일
• 6경기: 멕시코 0-3 스웨덴

우리나라 선수들은 말도 안 된다고 생각했던 경우의 수 ①번의 조건을 만들어 냈습니다. 독일과 우리나라는 1승 2패로 동률이지만 다득점에서 앞섰기 때문에 우리의 순위가 더 높아졌습니다. 이제 남은 것은 멕시코와 스웨덴의 경기 결과.

 

중계를 봤던 우리들은 스웨덴이 골을 넣을 때마다 멀어지는 16강에 마음이 아팠지만 선수들은 몰랐기 때문에 끝까지 정말 열심히 경기를 치르고 경기 결과를 보며 낙담하는 모습은 상당히 안타까웠죠.

 

반대로 스웨덴에게 3골을 먹히며 패배한 멕시코는 당연히 독일이 한국을 이길 것이라 생각했는데 지고 있는데 경기 막판 관중들이 환호하는 모습을 보며 '왜 그러지'라고 생각했다고 하죠.

 

경우의 수 계산 방법 및 예시

이렇게 두 번째 경기가 끝나도 16강을 확정 짓는 것은 상당히 어려운 것이 월드컵입니다. 그래서 매번 경우의 수를 꺼내게 되는데요. 내가 잘해도 상대방의 행동에 따라 변수가 발생하기 때문이죠. 수학에서 경우의 수는 단순한 수를 의미하지만, 스포츠에서 경우의 수는 희망이라고 생각합니다.